《重读相对论》5.5 速度合成

作者:孙亮朝

时间:2021年4月11日

来源:https://www.jianshu.com/p/0a0f0c3d4d97

5.5 速度合成

接下来,我们把列车中的思想实验扩展到两个匀速直线运动的参考系中,为了简便起见,我们分别用两个坐标轴SS’来代替参考系,假设两个数轴的原点在0时刻完全重合,并且S’系正以速度v匀速运动。那么,在S参考系看来,经过了t时间后,S’系的坐标原点将移动到x = v t处,如果此时,在S’上的X’处发生一个事件,那么,在S系看来,此事件的时空坐标为(xt),在S’系看来,同一事件的时空坐标为(x’t’)。那么这两组时空坐标之间的关系如何呢?

如图5-11所示,在S系中看来,根据长度收缩的效应,在S’系中测得的X’的一段距离,收缩后应为

加上S’系的坐标原点所在的位置vt,因此,该事件在S系中的空间坐标:

综合上述两式,再加上垂直方向上空间保持不变,就得到了完整的洛伦兹变换公式:

洛伦兹变换可以把静止参考系内的时空坐标向运动参考

系内转换。相反,如果已知运动坐标系的运动速度和坐标位置,也可以得出静止参考系中的对应坐标,这就是洛伦兹变换公式的逆变换:

利用洛伦兹变换的逆变换公式,可以进行相对论的速度

合成,假设在S’坐标系中,有某一物体沿着S’系运动方向继续以速度u’向前运动,那么,在S系看来,它的速度又会是多少呢?如果是按照伽利略变换规则,速度可以直接相加,最终的合速度u = v+u’,但是考虑到相对论的尺短钟慢的效应,还需要按照其时空坐标重新计算。假设在物体在S’坐标系中运动时,t1’时刻在位置x1’,运动到t2’时刻以后到达了x2’,那么,可以知道它在S’参考系中的速度:

同理,假设该物体的上述运动在S系中对应的时空坐标

分别为(t1,x1)和(t2,x2),那么,它在S系中的运动速度:

那么,这些坐标的对应关系又是如何呢?由洛伦兹逆变换公式可知:

代入上式可得

通过相对论速度合成公式不难发现以下两点:

第一、伽利略变幻是在洛伦兹变换在低速条件下的近似。在日常生活中,由于u’和v远远小于光速c,所以1 + uv/c2≈1,因此,速度合成公式可近似为伽利略速度合成公式:u=u’+v

光速不可超越。即使我们在0.99倍的光速下再加上0.99倍的光速,速度合成以后的结果仍然会小于光速

但是,这样的结果不但与我们的直觉相悖,甚至和牛顿力学都是有冲突的,根据牛顿第二定律可以知道,只要持续给物体施加一个恒定的外力F,物体的速度应该在恒定加速度a=F/m的作用下不断累加,再根据v=at不难知道,速度v总有一刻会超越光速的,那么,这里面还存在什么问题呢?原来,随着物体的速度增加,物体的质量和加速度也发生了微妙的变化。

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