二次互反律的应用以及它的巧妙变换

作者:电子通信和数学

时间:2021年1月16日 18:44

来源:百家号

二次互反律是一个非常强大,非常令人惊讶的素数对之间的关系,这是数学家对非常神秘的素数产生深刻了解的基本方法之一。
对于两个奇素数,
那么让我们看一个非常简单的例子,一些小的素数,23和7,计算等式的右边可以得到-1的奇数次方,所以等于-1,
那么左边呢,当进入Z/7域时,第一个勒让德符号很容易计算,23/7余数是2,我们知道Z/7中2是一个平方数。这意味着我们的勒让德符号等于1,
并且这直接地为我们提供了第二勒让德符号的值,这意味着什么?这告诉我们7在Z/23中不是平方数,的确如此,但是我们怎么得到这个结论呢?我们并没有列出Z/23的乘法表,但是我们通过某些方式了解了Z/23中的平方数
现在我们进一步探讨二次互反律之前,可以进一步变换下二次互反率,以使其用途更加清晰,假设我们要求出这个勒让德符号的值,然后我们不去除以第二个勒让德符号,而是将其乘以第二个符号,为什么要这样做呢?第二个符号要么是1,要么是-1
因为我们有不同的素数,0在这里是不可能的,对吧,所以这个平方的符号必定是1,这就是我们要的表达式
二次互反律的应用值得一提,但在这里不会深入到细节,只是快速的让你体验一下,二次互反律是关于奇素数的,那么那个偶素数呢?对于素数2和任何一个奇素数这里也有一个公式,
接下来勒让德符号具有一个非常好的可乘性质,这是一种非常简洁的方法来表示平方数和非平方数可以和往常一样相乘——一个平方数乘以非平方数是非平方数等等,我们由此可以快速计算出非常复杂的勒让德符号,
比如412/389,我么要问的是412/389的余数是不是Z/389中的完全平方数,的确我们可以制作一张乘法表,但这是不可能呢,所以必须借助二次互反率,如下是整个计算过程,很容易得到412/389的余数不是Z/389的完全平方数

相关文章:

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。